= Définitions pour les données

== Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique ==

Le mouvement d'une particule chargée dans un champ EOM est d'écrit par l'équation

[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{d\bold{p}}{dt}%20=%20\bold{F}%20=%20q(\bold{E}%20+\bold{v}\times%20\bold{B}))]][[BR]]

où '''p'''=m'''v''' est le vecteur impulsion
q est la charge de la particule[[BR]]
'''E''', '''B''' sont les vecteurs champ électrique et magnétique.[[BR]]

Pour connaitre l’évolution de l'espace de phase (positions et impulsions) de la particule on est amené à résoudre l’équation différentielle précédente.

Dans le cas où l'on considère un grand nombre de particules il est plus commode de s’intéresser à l’enveloppe de la trajectoire des particules.  

== Espace des phases, ellipses d'émittance ==

Considérons N particules pour chaqu'une d'elles on peut associer un point dans les espaces (x,x') et (y,y'). En physique accélérateur on préférera travailler avec x'(=dx/dz) et y'(dy/dz) plutôt qu'avec les impulsions.[[BR]]
Pour suivre l'évolution des nuages de points au cours du mouvement (dans les différents éléments optiques de la machine), sans avoir à transporter toutes les particules, on définit les courbes (que l'on considérera elliptique) renfermant tous les points et on établit la loi de transformation au cours du mouvement.[[BR]]
Ainsi dans le repère cartesien (u,u') avec u=x ou y l'équation générale de ces ellipses est de la forme:[[BR]]


[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma_{u}u^2+2\alpha_{u}uu%27+\beta_{u}u%27^2=\epsilon_{u}/\pi)]] [[BR]]

où [[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\epsilon_{u})]] est la surface de l'ellipse [[BR]]
et [[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha_{u},\beta_{u},\gamma_{u})]] sont des coefficients dépendant de z et liés par la relation [[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\beta_{u}\gamma_{u}-\alpha^2_{u}=1)]] [[BR]]

On peut réécrire l'équation sous forme matricielle:[[BR]]
[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widetilde{U}\sigma^{-1}U=\mathrm{Id})]][[BR]]
avec [[BR]]

[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?U=\binom{u}{u%27})]] [[BR]]
et le vecteur transposé[[BR]]
[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\widetilde{U}=(u,u'))]] [[BR]]
On introduit la matrice faisceau qui s'écrit:[[BR]]

[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sigma^{-1}=\frac{\epsilon_{u}}{\pi}\begin{bmatrix}%20\beta_u%20&-\alpha_u%20\\%20-\alpha_u&%20\beta_u%20\end{bmatrix}=%20\begin{bmatrix}%20\sigma_{11}%20&%20\sigma_{12}\\%20\sigma_{21}%20&%20\sigma_{22}%20\end{bmatrix})]][[BR]]
Ses propriétés sont les suivantes:[[BR]]
[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathrm{det}\sigma=\binom{\epsilon_u}{\pi}^2)]][[BR]]

[[Image(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sigma_{21}=\sigma_{12})]] [[BR]]

[[Image(parametres.png)]]