Définitions pour les données

Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique

Le mouvement d'une particule chargée dans un champ EOM est d'écrit par l'équation

où p=mv est le vecteur impulsion q est la charge de la particule
E, B sont les vecteurs champ électrique et magnétique.

Pour connaitre l’évolution de l'espace de phase (positions et impulsions) de la particule on est amené à résoudre l’équation différentielle précédente.

Dans le cas où l'on considère un grand nombre de particules il est plus commode de s’intéresser à l’enveloppe de la trajectoire des particules.

Espace des phases, ellipses d'émittance

Considérons N particules pour chaqu'une d'elles on peut associer un point dans les espaces (x,x') et (y,y'). En physique accélérateur on préférera travailler avec x'(=dx/dz) et y'(dy/dz) plutôt qu'avec les impulsions.
Pour suivre l'évolution des nuages de points au cours du mouvement (dans les différents éléments optiques de la machine), sans avoir à transporter toutes les particules, on définit les courbes (que l'on considérera elliptique) renfermant tous les points et on établit la loi de transformation au cours du mouvement.
Ainsi dans le repère cartesien (u,u') avec u=x ou y l'équation générale de ces ellipses est de la forme:

où est la surface de l'ellipse
et sont des coefficients dépendant de z et liés par la relation

On peut réécrire l'équation sous forme matricielle:

avec

et le vecteur transposé

On introduit la matrice faisceau qui s'écrit:

Ses propriétés sont les suivantes: